Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C和直線l的普通方程方程；
（2）設(shè)曲線C和直線l相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心C到直線l的距離d．利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-7dhnt7z^{2}}$即可得出弦長．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x，配方為：（x-1）²+y²=1，可得圓心C（1，0），半徑r=1．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程：x-y-2=0．
（2）圓心C到直線l的距離d=$\frac{|1-0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-cjijb7w^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．