Question

已知F₁(-2，0)、F₂(2，0),點(diǎn)P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點(diǎn)P的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)若直線l過F₂，且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn).

①無論直線l繞點(diǎn)F₂如何轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點(diǎn)M(m，0)，使MP⊥QM恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.

②過P、Q作直線x=的垂線PA、QB,垂足分別是A、B，記λ=，求λ的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點(diǎn)P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，

由c=2，2a=2，∴b²=3，故軌跡E的方程為x²=1(x≥1).                      

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0，

∴                                        

①∵=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁-2)(x₂-2)

=(k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²

=+m²+4k²

=+m².                                                         

∵M(jìn)P⊥MQ，∴=0，

故得3(1-m²)+k²(m²-4m-5)=0對任意的k²＞3恒成立，

∴解得m=-1,∴當(dāng)m=-1時，MP⊥MQ.

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由P(2，3)、Q(2，-3)及M(-1，0)知結(jié)論成立，

綜上，當(dāng)m=-1時，MP⊥MQ.                                                   

②∵a=1,c=2，直線x=是雙曲線的右準(zhǔn)線，                                    

由雙曲線定義得：|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|，

方法一：λ=.

∵k²＞3，∴0＜,故＜λ＜，                                      

注意到直線的斜率不存在時，|PQ|=|AB|，此時λ=，

綜上，λ∈［).                                                         

方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，

由于直線PQ與雙曲線右支有兩個交點(diǎn)，

∴＜θ＜，過Q作QC⊥PA，垂足為C，

則∠PQC=|-θ|，

∴λ=.                              

由＜θ＜，得＜sinθ≤1，故λ∈［).