Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，1-$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{n}$=（1-sinx，cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{8}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)量積運算得到函數(shù)解析式并等價變形，得到最簡解析式，求零點；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（α），與角度范圍得到（$α+\frac{π}{6}$）的正弦和余弦值，利用角的等價變形得到所求．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$sinx-$\sqrt{3}$sin²x+cosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），…（3分）
由f（x）=0，得x+$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），所以x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的零點為x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（α）=2sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），所以sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，…（8分）
所以$\frac{2π}{3}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，則cos（$α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，…（10分）
所以cosα=cos[（$α+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（$α+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（$α+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．    …（12分）

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算以及函數(shù)的零點、三角函數(shù)的恒等變形求三角函數(shù)值，較綜合，但是比較典型．