Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，則a=4，若數(shù)列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，那么S₂₀₁₃=$\frac{2013}{4027}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a=4，再由裂項(xiàng)相消求和，可得所求值．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax，
即有在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為k=2a，
由切線l與直線8x-y+2=0平行，
則2a=8，解得a=4，
f（x）=4x²-1，
即有$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則S₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4025}$-$\frac{1}{4027}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4027}$）=$\frac{2013}{4027}$．
故答案為：4，$\frac{2013}{4027}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，運(yùn)用兩直線平行的條件和作差求和是解題的關(guān)鍵．