Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BCD=90°。
（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）設E為BC的中點，求與夾角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵折起前AD是BC邊上的高， ∴當ΔABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又DB∩DC=D， ∴AD⊥平面BDC， ∵AD平面ADB， ∴平面ADB⊥平面BDC。
（Ⅱ ）解：由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC兩兩垂直， 不妨設|DB|=1， 以D為坐標原點，以所在直線x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0）， A（0，0，），E（，，0）， ∴，=（1，0，0）， ∴與夾角的余弦值為 。