Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+2，x∈[2，4]，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先對函數(shù)關(guān)系式恒等變換轉(zhuǎn)換成頂點式，通過對對稱軸方程與定區(qū)間的關(guān)系來求頂函數(shù)的最大值

解答： 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax+2=-（x-a）²+a²+2
對稱軸方程為：x=a
①當a＞4時，由于x∈[2，4]函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)
∴f（x）_max=f（4）=-14+8a
②當2≤a≤4時，在x=a處取得最大值
∴f(x)max=f(a)=a2+2
③當a＜2時，由于x∈[2，4]函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)
∴f（x）_max=f（2）=4a-2
綜上所述：①當a＞4時  f（x）_max=-14+8a
②當2≤a≤4時 f(x)max=a2+2
③當a＜2時 f（x）_max=4a-2
故答案為：①當a＞4時  f（x）_max=-14+8a
②當2≤a≤4時 f(x)max=a2+2
③當a＜2時 f（x）_max=4a-2

點評：本題考查的知識點：二次函數(shù)一般式與頂點式的轉(zhuǎn)換，對稱軸不定區(qū)間定的討論，以及相關(guān)的運算問題．