Question

14．已知映射f：P（m，n）→P′（-m，2n）（m≥0，n≥0）．設點A（1，3），B（3，1），點M是線段AB上一動點，f：M→M′．當點M是線段AB的中點時，點M′的坐標是（-2，4）；當點M在線段AB上從點A開始運動到點B結束時，點M的對應點M'所經(jīng)過的路線長度為$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的兩個點的坐標寫出直線的方程，設出兩個點的坐標，根據(jù)所給的映射的對應法則得到兩個點坐標之間的關系，代入直線的方程即可得到結論．

解答 解：線段AB的中點M（2，2），則M′（-2，4），
∵A（1，3），B（3，1），
∴AB的方程為$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-3}{1-3}$，即x+y=4，
設P（x₁，y₁），P′（-x₁，2y₁），且x₁+y₁=4
設$\left\{\begin{array}{l}{x=-{x}_{1}}\\{y=2{y}_{1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
則-x+$\frac{y}{2}$=4，
即y=2x+8，
則M′對應的軌跡為直線y=2x+8，
A′（-1，6），B′（-3，2），
則|A′B′|=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（6-2）^{2}}$=$\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$，
故答案為：（-2，4），$2\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查映射的應用，以及兩點間的距離公式的應用，考查學生的轉化能力．