Question

4．如圖，在邊長為10（單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形，再把它的四個角沿著虛線折起，做成一個正四棱錐的模型．設(shè)切去的等腰三角形的高為x m．問正四棱錐的體積V（x）何時最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 用x表示出四棱錐的側(cè)棱長和對角線長，計算出棱錐的高，得到V（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求出最大體積．

解答 解：棱錐的側(cè)棱長為l=$\sqrt{{5}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{25+{x}^{2}}$，棱錐的底面對角線長為10-2x，顯然0＜x＜5．
∴棱錐的高h=$\sqrt{{l}^{2}-（5-x）^{2}}$=$\sqrt{10x}$，棱錐的底面邊長為$\frac{10-2x}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$（5-x）．
∴棱錐的體積V（x）=$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{2}$（5-x））²×$\sqrt{10x}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}（5-x）^{2}\sqrt{x}$．
∴V′（x）=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•[2（x-5）$\sqrt{x}$+（x-5）²•$\frac{\sqrt{x}}{2x}$]=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•（x-5）•$\sqrt{x}$•$\frac{5x-5}{2x}$．
令V′（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，V′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜5時，V′（x）＜0．
∴當(dāng)x=1時，V（x）取得最大值，最大值為V（1）=$\frac{32\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題以折疊圖形為依托，考查空間幾何體的體積的求法，通過函數(shù)的對數(shù)求法函數(shù)的值的方法，考查空間想象能力與計算能力；解題中注意函數(shù)的定義域，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．