Question

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上滿(mǎn)足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間［0,7］上,只有f(1)=f(3)=0.

(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;

(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2 005,2 005］上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,

    ∴f(-1)=f(5).

    而f(5)≠0f(1)≠f(-1),即f(x)不是偶函數(shù).

    又∵f(x)在［0,7］上只有f(1)=f(3)=0,

    ∴f(0)≠0.

    從而知函數(shù)y=f(x)不是奇函數(shù).

    故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).

    (2)

   

    f(4-x)=f(14-x)

    f(x)=f(x+10).

    從而知函數(shù)y=f(x)的周期為T(mén)=10.

    又f(3)=f(1)=0,

    ∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.

    故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有2個(gè)根,從而可知函數(shù)y=f(x)在［0,2 000］上有400個(gè)根,在［2 000,2 005］上有2個(gè)根,在［-2 000,0］上有400個(gè)根,在［-2 005,-2 000］上沒(méi)有根.

    ∴函數(shù)y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802個(gè)根.