Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}是公比小于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=14，且a₁+13，4a₂，a₃+9成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•（n+2-λ），且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為q，0＜q＜1，由題意可得a₁和q的方程組，解方程組可得；
（Ⅱ）易得b_n=（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$，由數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，可得（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$＞（n+3-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-3}$，解不等式可得．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意可得0＜q＜1，
∵S₃=14，且a₁+13，4a₂，a₃+9成等差數(shù)列，
∴a₁+a₂+a₃=14，8a₂=a₁+13+a₃+9，
聯(lián)立解得a₂=4，代入a₁+a₂+a₃=14可得$\frac{4}{q}$+4+4q=14，
解得q=$\frac{1}{2}$，或q=2（舍去），∴a₁=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=8×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n•（n+2-λ）=（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$，
∵數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，∴b_n＞b_n+1，
即（n+2-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-4}$＞（n+3-λ）•$（\frac{1}{2}）^{n-3}$，
∴（n+2-λ）•＞$\frac{1}{2}$（n+3-λ），∴λ＜n+1，
∵上式對任意正整數(shù)n都成立，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ＜2

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬中檔題．