Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，（x∈R）為增函數(shù)，則a的取值范圍是：    ．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線，因?yàn)楹瘮?shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，即△小于等于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：由f（x）=x³-ax²+3x，得到f′（x）=3x²-2ax+3，
因?yàn)楹瘮?shù)在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）=3x²-2ax+3≥0在（-∞，+∞）恒成立，
則△=4a²-9×4≤0⇒-3≤a≤3，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[-3，3]．
故答案為：[-3，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，掌握二次函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件，是一道綜合題．