Question

9．設(shè)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓的方程求得c，進(jìn)而求得|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}$=1，可得
a=5，b=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=10①，t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=5²②，
由①²-②得t₁t₂=25，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$t₁t₂•sin60°=$\frac{1}{2}$•25•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積的求法，關(guān)鍵是應(yīng)用橢圓的定義和余弦定理轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．