Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以F₁、F₂為邊作等邊三角形，若橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．4(2-

  3

  )
• B．

  3

  -1
• C．

  1

  2

  (

  3

  +1)
• D．

  1

  4

  (

  3

  +2)

Answer 1

分析：由△PF₁F₂為正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°，則可求直線PF₁，PF₂的斜率，進(jìn)而可求所在的直線方程，其交點(diǎn)，而PF₁中點(diǎn)M在橢圓上，代入橢圓的方程，結(jié)合b²=a²-c²及0＜e＜1可求

解答：解：由△PF₁F₂為正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°
則直線PF₁，PF₂的斜率分別為

3

，-

3

則直線PF₁，PF₂所在的直線方程分別為y=

3

(x+c)，y=-

3

(x-c)，
其交點(diǎn)P（0，

3

c），而PF₁中點(diǎn)M（-

1

2

c，

3

2

c）在橢圓上，代入橢圓的方程可得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
兩邊同時(shí)除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴e2=4-2

3

，e2=2+

3

（舍）
∴e=2-

3

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是要題目中的三角形得到直線的斜率進(jìn)而求出直線方程．