Question

已知點P(10,0),Q為圓x²+y²=16上一動點.當Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程.

Answer 1

活動:學生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,過中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求.

解法一:如圖2,作MN∥OQ交x軸于N,

圖2

則N為OP的中點,即N(5,0).

因為|MN|=|OQ|=2(定長).

所以所求點M的軌跡方程為(x-5)²+y²=4.

點評:用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜,將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的.

解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x₀,y₀).

因為M是PQ的中點,所以即               (_*)

又因為Q(x₀,y₀)在圓x²+y²=16上,所以x₀²+y₀²=16.

將(_*)代入得(2x-10)²+(2y)²=16.故所求的軌跡方程為(x-5)²+y²=4.

點評:相關(guān)點法步驟:①設(shè)被動點M(x,y),主動點Q(x₀,y₀).

②求出點M與點Q坐標間的關(guān)系                    (Ⅰ)

③從(Ⅰ)中解出                                      (Ⅱ)

④將(Ⅱ)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程.

這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點法,以后要注意運用.