Question

已知函數(shù)f（x）的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：   ，，其中min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a），對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，試寫出f₁（x），f₂（x）的表達式；
（2）已知函數(shù)f（x）=x²，x∈[-1，4]，試判斷f（x）是否為[-1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應的k，如果不是，請說明理由；
（3）已知，函數(shù)f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍

Answer 1

解：（1 ）由題意可得：，。    
（2），，   
 當時，∴ k≥1-x,k≥2
當時，1≤k(x+1),∴k≥,∴k≥1  
 當時，x₂≤k(x+1)∴k≥，。
即存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數(shù)”。
（3），令得或。
的變化情況如下：

令f（x）=0得x=0或x=3。
（i）當b≤2時，f（x）=在[0,b]上單調(diào)遞增，
因此，，。
因為是[0,b]上的”，
所以，①對x∈[0,b]恒成立；
②存在x∈[0,b]，使得成立。
①即：對x∈[0,b]恒成立，
由解得0≤x≤1或x≥2。
要使對x∈[0,b]恒成立，需且只需。
②即：存在x∈[0,b]，使得成立。
由解得或。
所以，只需。
綜合①②可得。
（i i ）當時，f（x）在[0,2]上單調(diào)遞增，在[2,b]上單調(diào)遞減，
因此，，，，
顯然當x=0時，不成立。
（i i i）當時，f（x）在[0,2]上單調(diào)遞增，在[2,b]上單調(diào)遞減，
因此，，，，
顯然當x=0時，不成立。
綜合（i）（i i）（i i i）可得：。