Question

19．設函數(shù)f（x）在R上存在導函數(shù)f′（x），對?x∈R，f（-x）+f（x）=x²，且當x∈（0，+∞），f′（x）＞x，若有f（1-a）-f（a）≥$\frac{1}{2}$-a，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x），可判函數(shù)g（x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由函數(shù)的性質可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-$\frac{1}{2}$x² +f（-x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x² +f（x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．∵x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數(shù)．
f（1-a）-f（a）≥$\frac{1}{2}$-a等價于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≥f（a）-$\frac{1}{2}$a²，
即g（1-a）≥g（a），∴1-a≥a，解得a≤$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，由已知條件構造出g（x）是解決本題的關鍵，屬中檔題．