Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和，
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達(dá)式；
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)隔熱層厚度為xcm，
由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為，
再由C(0)=8，得k=40，因此，
而建造費(fèi)用為C₁(x)=6x，
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為
；
(Ⅱ)，
令f′(x)=0，即，解得（舍去），
當(dāng)0＜x＜5時，f′(x)＜0，當(dāng)5＜x＜10時，f′(x)＞0，
故x=5是f(x)的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為=70，
當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元。