Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-x2(x∈[0，1)) -x+2(x∈[1，2])

．
（1）在所給坐標(biāo)系中，畫出y=-f（x）的圖象；
（2）設(shè)y=f（x），x∈[1，2]的反函數(shù)為y=g（x），設(shè)a1=1，a2=

1

2

g(a1)，…，an=

1

2

g(an-1)，…，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若x0∈[0，1)，f(x0)=x1-1，x0=1-

3

2

f(x1)，求x₀和x₁的值．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)先根據(jù)自變量的范圍不同根據(jù)相應(yīng)的解析式畫出不同段上的函數(shù)圖象，進(jìn)而問題即可獲得解答；
（2）充分利用第一問中函數(shù)即可求得x∈[1，2]的反函數(shù)為y=g（x），先計算數(shù)列的幾項(xiàng)，注意觀察它們之間的規(guī)律，進(jìn)行歸納即得．
（3）利用分段函數(shù)表示出f（x₀）和f（x₁），再解關(guān)于x₀，x₁的二元方程組即得．

解答：解：（1）由題意可知：
當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=-x²+2x，為二次函數(shù)的一部分；
當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=-x+2，為一次函數(shù)的一部分；
所以，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示；
（2）設(shè)y=f（x），x∈[1，2]的反函數(shù)為y=g（x）=2-x，
a1=1，a2=

1

2

g(a1)=

1

2

，a3=

1

2

g(a2)=

3

4

，…
a3=

5

8

，a4=

15

16

，…
歸納得：an=

2

3

[1-(-

1

2

)n]；
（3）∵x0∈[0，1)，f(x0)=x1-1，x0=1-

3

2

f(x1)，
∴-x₀²+2x₀=x₁-1，x0=1-

3

2

(-x 1 +2)
解得：x0=

1

3

，x1=

14

9

．

點(diǎn)評：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)圖象的畫法、反函數(shù)以及問題轉(zhuǎn)化和畫圖讀圖的能力．值得同學(xué)們體會反思．