Question

直線l與函數(shù)y=sinx（x∈[0，π]）的圖象相切于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，且l∥OP，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圖象的最高點(diǎn)，過切點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，則

BA

•

BC

=（　�。�

• A、

  π2

  4

• B、

  π2

  2

• C、

  π2-4

  4

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：直線l的斜率即為OP的斜率，即函數(shù)y=sinx在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)，得到 cosx₁=

2

π

，點(diǎn)斜式寫出AB直線的方程，求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2=（x₁-x_B）² 求出結(jié)果．

解答： 解：由于P（

π

2

，1），直線l的斜率即為OP的斜率：

1-0

π 2 -0

=

2

π

，
設(shè)A（x₁，y₁），由y=sinx在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)即為直線l的斜率．
則cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-cos2x1

=

π2-4

π

，
則AB的方程為y-y₁=

2

π

（x-x₁），令y=0，則B的橫坐標(biāo)x_B=x₁-

π

2

y₁，
由

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos∠ABC=

BC

2
=（x₁-x_B）²=（

π

2

y₁）²=

π2

4

•

π2-4

π2

=

π2-4

4

故選C．

點(diǎn)評：本題考查直線的斜率公式，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，求直線的點(diǎn)斜式方程，以及兩個向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題．