Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a²-1，若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，則f[f（x）]＜0的解集是（0，2-$\sqrt{2}$）∪（2+$\sqrt{2}$，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次不等式的解和對應(yīng)的一元二次方程實數(shù)根的關(guān)系即可求得a=2，從而得到f（x）=x²-4x+3，令t=x²-4x+3，從而f（t）＜0的解為1＜t＜3，從而得到1＜x²-4x+3＜3，解該一元二次不等式即得不等式f[f（x）]＜0的解集．

解答 解：根據(jù)題意，x=1，3是方程x²-2ax+a²-1=0的兩個實根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3=2a}\\{1•3={a}^{2}-1}\end{array}\right.$；
解得，a=2；
f（x）=x²-4x+3；
令f（x）=t，由f[f（x）]＜0得f（t）＜0；
根據(jù)已知，1＜t＜3；
∴1＜x²-4x+3＜3；
解得，0$＜x＜2-\sqrt{2}$，或$2+\sqrt{2}＜x＜4$；
∴f[f（x）]＜0的解集為（0，2-$\sqrt{2}$）∪（2+$\sqrt{2}$，4）．
故答案為：$（0，2-\sqrt{2}）∪（2+\sqrt{2}，4）$．

點評 考查一元二次不等式的解和對應(yīng)的一元二次方程實數(shù)根的關(guān)系，韋達定理，換元法解不等式，解一元二次不等式．