Question

18．已知圓x²+y²-4x-8y+m=0．
（1）若圓C與直線x+2y-5=0相交于M、N兩點，且CM⊥CN（C為圓心），求m的值；
（2）在（1）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）CM⊥CN（C為圓心），可得圓心到直線的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即可求m的值；
（2）過C與直線x+2y-5=0垂直的直線方程為2x-y=0，與直線x+2y-5=0交點為（1，2），即為圓心，求出半徑，即可求以MN為直徑的圓的方程．

解答 解：（1）圓x²+y²-4x-8y+m=0可化為圓（x-2）²+（y-4）²=20-m，
∵圓C與直線x+2y-5=0相交于M、N兩點，且CM⊥CN（C為圓心），
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|2+8-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{20-m}$，
∴m=10；
（2）過C與直線x+2y-5=0垂直的直線方程為2x-y=0，與直線x+2y-5=0交點為（1，2），即為圓心，
∵|MN|=2$\sqrt{5}$，
∴以MN為直徑的圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．