Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}中，若存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），則稱a_k為{a_n}的一個(gè)H值．現(xiàn)有如下數(shù)列：①a_n=1-2n；②a_n=sinn；③a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$④a_n=lnn-n，則存在H值的數(shù)列有（　　）個(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由新定義可知，若數(shù)列{a_n}有H值，則數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，且存在k（k≥2，k∈N^*），使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立．
①是等差數(shù)列，為單調(diào)數(shù)列；舉例說明②存在H值；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，說明③存在H值，④是單調(diào)數(shù)列．

解答 解：由新定義可知，若數(shù)列{a_n}有H值，則數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，且存在k（k≥2，k∈N^*），使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立．
對(duì)于①a_n=1-2n，該數(shù)列為遞減數(shù)列，不合題意；
對(duì)于②a_n=sinn，取k=2，則sin2＞sin1，且sin2＞sin3，數(shù)列存在H值；
對(duì)于③a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$，令f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x-3}}$，f′（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x-3}}$，由f′（x）=0，得x=3．
當(dāng)x＜3時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＞3時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，∴x=3時(shí)函數(shù)取得極大值，也就是最大值，
則對(duì)于數(shù)列a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$，有a₃＞a₂，且a₃＞a₄，數(shù)列存在H值；
對(duì)于④a_n=lnn-n，令g（x）=lnx-x，g′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）≤0，數(shù)列為遞減數(shù)列，不合題意．
∴存在H值的數(shù)列有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．