Question

（2013•三門峽模擬）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值．
（II）若2f（x）≥g（x），則a≤2lnx+x+

3

x

，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx+x+

3

x

，則a≤h_min（x），進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立，即lnx•x＞

x

ex

-

2

e

，結(jié)合（1）中結(jié)論可知lnx•x≥-

1

e

，構(gòu)造新函數(shù)m（x）=

x

ex

-

2

e

，分析其最大值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
從而f（x）在（0，

1

e

）單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）取得最小值-

1

e

．
（II）若2f（x）≥g（x），則a≤2lnx+x+

3

x

，
設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

，
則h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

∵x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4
故a≤4
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，4]
證明：（III）若lnx＞

1

ex

-

2

ex

則lnx•x＞

x

ex

-

2

e

，
由（I）得：lnx•x≥-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e

時(shí)，取最小值；
設(shè)m（x）=

x

ex

-

2

e

，則m′（x）=

1-x

ex

，
∵x∈（0，1）時(shí)，m′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取最大值-

1

e

故對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法步驟是解答的關(guān)鍵．