Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，G為PD中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，平面PEC⊥平面PDC，
（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求點(diǎn)G到平面PEC的距離。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA， ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AG， 又PD⊥AG， ∴AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F， 因面PEC⊥面PCD， ∴EF⊥平面PCD， 又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD， ∴EF∥AG， 又AG面PEC，EF面PEC， ∴AG∥平面PEC；
（Ⅲ）解：由AC∥平面PEC知 A，G兩點(diǎn)到平面PEC的距離相等， 由（Ⅱ）知A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面， 又AE∥CD， ∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF， ∴四邊形AEFG為平行四邊形， ∴AE=GF，PA=AB=4，G為PD中點(diǎn)，， ∴FG=2， ∴AE=FG=2， ∴， 又EF⊥PC，EF=AG=， ∴， 又， ∴， 即， ∴h=， ∴G點(diǎn)到平面PEC的距離為。