Question

4．已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）．當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用倍角公式、和差公式可得：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，則函數(shù)f（x）的值域可求．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的最值，考查了和差公式、倍角公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．