Question

已知函數

（1）若方程內有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍；（e為自然對數的底數）

（2）如果函數的圖象與x軸交于兩點、且.求證：（其中正常數）.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）方程內有兩個不等的實根，可轉化為函數的圖象與 有兩個不同的交點，可以利用導數研究函數在 上的單調性與極值并結合邊界值來確定實數m的取值范圍；

（2）由函數的圖象與x軸交于兩點、知方程

有兩根

因為 ,

所以

只需證明：在上恒成立即可.

試題解析：（1）由，

求導數得到：

，故在有唯一的極值點

，且知

故上有兩個不等實根需滿足：

故所求m的取值范圍為. （6分）

（2）又有兩個實根

則

兩式相減得到：

于是

 

，故

要證：，只需證：

只需證：

令，則

只需證明：在上恒成立.

又則

于是由可知.故知

上為增函數，則

從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證. （14分）

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、等價轉化與數形結合的思想.