Question

（本小題滿分10分）選修4—1: 幾何證明選講

如圖，已知與圓相切于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的割線交圓于點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）若,求的值．

 

Answer 1

【答案】

 (1)見(jiàn)解析；(2) =．

【解析】本試題主要是考查了三角形的相似和圓內(nèi)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)榻Y(jié)合切割線定理和弦切角定理可知角的相等，進(jìn)而得到結(jié)論。

（2）由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴ △APC∽△BPA并結(jié)合由三角形內(nèi)角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°可知在Rt△ABC中，=,得到求解。

解：(1)∵ PA是切線，AB是弦，

∴ ∠BAP=∠C，

又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,             

∴ ∠ADE=∠AED．               

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴ △APC∽△BPA, ∴,          

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形內(nèi)角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圓O的直徑，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．               

在Rt△ABC中，=, ∴ =．