Question

（2013•長寧區(qū)一模）設0＜m＜

1

2

，若

1

m

+

2

1-2m

≥k恒成立，則k的最大值為

8

．

Answer 1

分析：令t=

1

m

+

2

1-2m

，

1

m

+

2

1-2m

≥k恒成立，等價于t_min≥k恒成立，利用基本不等式求出最小值，即可求k的最大值．

解答：解：令t=

1

m

+

2

1-2m

∵

1

m

+

2

1-2m

≥k恒成立，
∴t_min≥k恒成立
t=

1

m

+

2

1-2m

=

2

2m

+

2

1-2m

=(

2

2m

+

2

1-2m

)(2m+1-2m)=2（2+

1-2m

2m

+

2m

1-2m

）
∵0＜m＜

1

2

∴2m＞0，1-2m＞0
∴

1-2m

2m

+

2m

1-2m

≥2（當且僅當

1-2m

2m

=

2m

1-2m

，即m=

1

4

時取等號）
∴t≥8
∴k≤8
∴k的最大值為8
故答案為：8

點評：本題考查恒成立問題，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是求函數(shù)的最小值．