Question

10．已知，如圖正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分別是AB，AD的中點．
（1）求證：EF⊥GH；
（2）求點C到平面GEF的距離；
（3）求直線BD到平面GEF的距離．

Answer 1

分析 （1）證明EF⊥平面ACG，即可證明EF⊥GH；
（2）作CM⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知CM⊥平面EFG，線段CM的長就是點C到平面EFG的距離，即可求點C到平面GEF的距離；
（3）BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，即可求直線BD到平面GEF的距離．

解答 （1）證明：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵E、F分別是AB，AD的中點，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC，
∵CG⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF⊥CG，
∵AC∩CG=C，
∴EF⊥平面ACG，
∵GH?平面ACG，
∴EF⊥GH
（2）解：∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．
作CM⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知CM⊥平面EFG，
所以線段CM的長就是點C到平面EFG的距離．
∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，
∴AC=4$\sqrt{2}$，HO=$\sqrt{2}$，HC=3$\sqrt{2}$．
∴在Rt△HCG中，HG=$\sqrt{22}$
∴CM=$\frac{2×3\sqrt{2}}{\sqrt{22}}$=$\frac{6\sqrt{11}}{11}$．
即點C到平面EFG的距離為$\frac{6\sqrt{11}}{11}$；
（3）解：連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．
因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點．
由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，
所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．
作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，
∴線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．
∴點B到平面EFG的距離為OK=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點面距離的計算能力，屬于中檔題．