Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+3a²x-2．
（1）若的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，-1），求a的值；
（2）若f（x）在（0，2a）上有兩個零點，求a³的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的零點判定定理，即可求出a的值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+3a²x-2，
∴f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-3a）（x-a），
∵函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a=-3}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
即a=-1；
（2）∵f（x）在（0，2a）上有兩個零點，
∴a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{f（a）＞0}\\{f（2a）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}＜{a}^{3}＜3$
故a³的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，3）

點評 本題考查了應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學思想．