Question

9．已知a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{^{2}}{b+3}$的最小值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{^{2}}{b+3}$=$\frac{1}{6}$（a+2+b+3）（$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{^{2}}{b+3}$），展開，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：由題意，$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{^{2}}{b+3}$=$\frac{1}{6}$（a+2+b+3）（$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{^{2}}{b+3}$）
=$\frac{1}{6}$（${a}^{2}+^{2}+\frac{b+3}{a+2}•{a}^{2}+\frac{a+2}{b+3}•^{2}$）≥$\frac{1}{6}（{a}^{2}+^{2}+2ab）$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{^{2}}{b+3}$的最小值為$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查最小值的求法，考查基本不等式的運用，正確變形是關鍵．