Question

已知a、b是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a+tb（t∈R）的模取最小值時(shí)，
（1）求t的值；
（2）求證：b⊥（a+tb）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出兩個(gè)向量的夾角，表示出兩個(gè)向量的模長(zhǎng)，對(duì)于模長(zhǎng)形式，通常兩邊平方，得到與已知條件有關(guān)的運(yùn)算，整理成平方形式，當(dāng)?shù)讛?shù)為零時(shí)，結(jié)果最小．
（2）本題要證明兩個(gè)向量垂直，這種問(wèn)題一般通過(guò)向量的數(shù)量積為零來(lái)證明，求兩個(gè)向量數(shù)量積，根據(jù)上一問(wèn)做出的結(jié)果，代入數(shù)量積的式子，合并同類(lèi)項(xiàng)，得到數(shù)量積為零．得到垂直．
解答：（1）解：設(shè)與的夾角為θ，
∵|+t|²=（+t）²=||²+t²||²+2•（t）=||²+t²||²+2t||||cosθ
=||²（t+cosθ）²+||²sin²θ，
∴當(dāng)t=-  cosθ=-=-時(shí)，|+t|有最小值．
（2）證明：∵•（+t）=•（-•）=•-•=0，
∴⊥（t）．
點(diǎn)評(píng)：啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)．?