Question

8．共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài)．一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數(shù)量（單位：千輛）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，在調(diào)查過程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：

租用單車數(shù)量x（千輛）	2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲：$\stackrel{∧}{y}$^（1）=$\frac{4}{x}$+1.1，方程乙：$\stackrel{∧}{y}$^（2）=$\frac{6.4}{{x}^{2}}$+1.6．
（1）為了評價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)：
①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）（備注：$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$=y_i-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$稱為相應(yīng)于點(diǎn)（x_i，y_i）的殘差（也叫隨機(jī)誤差）；

租用單車數(shù)量x（千輛）		2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計(jì)值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$（1）		2.4	2.1		1.6
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（1）		0	-0.1		0.1
模型乙	估計(jì)值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ （2）		2.3	2	1.9
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（2）		0.1	0	0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q₁及Q₂，并通過比較Q₁，Q₂的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好．
（2）這個(gè)公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放．根據(jù)市場調(diào)查，這個(gè)城市投放8千輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6，0.4；投放1萬輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.4，0.6．問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入-成本）．

Answer 1

分析 （1）①通過計(jì)算填寫表中數(shù)據(jù)；②計(jì)算模型甲、乙的殘差平方，比較即可得出結(jié)論；
（2）計(jì)算投放共享單車為8千輛和1萬輛時(shí)，該公司一天獲得的總利潤，從而得出正確的結(jié)論．

解答 解：（1）①經(jīng)計(jì)算，可得下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）；

租用單車數(shù)量x（千輛）		2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計(jì)值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$（1）	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（1）；	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估計(jì)值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ （2）	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（2）	0	0.1	0	0	0

②計(jì)算模型甲的殘差平方Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的殘差平方Q₂=0.1²=0.01；
∴Q₁＞Q₂，故模型乙的擬合效果更好；
（2）若該城市投放共享單車為8千輛時(shí)，則該公司獲得每輛車一天的收入期望為：
10×0.6+6×0.4=8.4（元），
所以該公司一天獲得的總利潤為（8.4-1.7）×8000=53600（元）；
若投放共享單車為1萬輛時(shí)，則每輛車的成本為$\frac{6.4}{{10}^{2}}$+1.6=1.664（元），
每輛車一天的收入期望為10×0.4+6×0.6=7.6（元），
所以該公司一天獲得的總利潤為（7.6-1.664）×10000=59360（元）；
由59360＞53600，∴投放1萬輛能獲得更多利潤，應(yīng)該增加到投放1萬輛．

點(diǎn)評 本題考查了殘差平方的計(jì)算問題，也考查了利潤函數(shù)的計(jì)算問題，是中檔題．