Question

(Ⅰ)設(shè)a＞0且a≠1，求函數(shù)f(x)=(a^x+0)-(x∈(1，+∞))的最小值；

(Ⅱ)設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，證明不等式：(x+y)ln≤xlnx+ylny.

Answer 1

解:(Ⅰ)解法一:

因?yàn)閍^x＞0,a＞0,所以中 

當(dāng)且僅當(dāng)a^x=a,即x=1時(shí),上式等號(hào)成立,

所以f(x)≥0對(duì)任意的x∈恒成立,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值 

解法二:

(x)= 

當(dāng)x＞1時(shí),x＞成立

若a＞1,則lna＞0,a^x-＞0;

若0＜a＜1,則lna＜0,a^x-＜0.所以(x)＞0

即函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增 

又f(1)=0, 所以[f(x)]_min=f(1)=0. 

(Ⅱ)證明:

①當(dāng)x=y時(shí),(x+y)ln=xlnx+ylny 

②當(dāng)x≠y時(shí),不失一般性,設(shè)x＞y＞0并取y=m,則x∈(m,+∞).

設(shè)g(x)=xlnx+ylny-(x+y)ln

即g(x)=xlnx-(x+m)ln+mlnm,x∈(m,+∞)

(x)=lnx+1-(ln+·)

=lnx-ln=ln 

因?yàn)?x＞x+m＞0  所以＞1

所以(x)=ln＞0

所以g(x)在(m,+∞)上單調(diào)遞增

又g(m)=0

所以g(x)＞0,即xlnx-(x+m)ln+mlnm＞0

所以(x+m)ln＜xlnx+mlnm 

即(x+y)ln＜xlnx+ylny.

綜合①,②,有不等式

(x+y)ln≤xlnx+ylny成立