Question

已知函數(shù)f（x）=2-2a^x-a^2x（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-6，求a的值并求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）令 a^x=t＞0，可得函數(shù)h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．
由于 （t+1）²≥1，∴f（x）≤2，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，2]．
（2）①當(dāng)a＞1時(shí)，由x∈[-1，2]可得，≤t≤a²，由于函數(shù)h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在區(qū)間[，a²]上是減函數(shù)，
故當(dāng)t=a²時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為 3-（a²+1）²=-6，解得 a=；故當(dāng)t==時(shí)，函數(shù)取得最大值為-．
②當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，由x∈[-1，2]可得，≥t≥a²，由于函數(shù)h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在區(qū)間[a²，]上是減函數(shù)，
故當(dāng)t=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為 3-=-6，解得 a=，故當(dāng)t=a²=時(shí)，函數(shù)取得最大值為3-=．
綜上可得，a的值等于，函數(shù)f（x）的最大值為-；或者是a=，函數(shù)的最大值為 ．
分析：（1）令 a^x=t＞0，可得函數(shù)h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．再根據(jù) （t+1）²≥1，求得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?br/>（2）①當(dāng)a＞1時(shí)，由x∈[-1，2]可得 ≤t≤a²，由于函數(shù)h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在區(qū)間[，a²]上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值為-6，求得a的值，進(jìn)而
求得函數(shù)取得最大值．②當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，同理求得得a的值以及函數(shù)的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．