Question

17．在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實(shí)數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集D={|$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“?”．定義如下：對于任意兩個向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四個命題：
①若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，則對于任意$\overrightarrow{a}$∈D，（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）＞（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$）；
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，則$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$；③對于任意向量$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{0}$=（0，0）若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$
④若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0），則$\overrightarrow{{e}_{1}}$?$\overrightarrow{{e}_{2}}$?$\overrightarrow{0}$；
其中真命題的序號為①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中任意兩個向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”時，$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$成立．逐一判斷四個結(jié)論的真假得答案．

解答 解：①設(shè)$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{a}$=（x，y），
則$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{a}$=（x₁+x，y₁+y），$\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{a}$=（x₂+x，y₂+y），
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，
若x₁＞x₂，則x₁+x＞x₂+x，∴（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）?（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$）；
若x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂，則x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，
∴（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）?（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$）．
綜上所述，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，則對于任意$\overrightarrow{a}$∈D，（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$）?（$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$），故①正確；
②設(shè)$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（x₃，y₃），
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，
由$\overrightarrow{{a}_{2}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$，得“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”，
若“x₁＞x₂＞x₃”，則$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
若“x₁＞x₂”，且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，則“x₁＞x₃”，∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂＞x₃”，
則x₁＞x₃，$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$；若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，
則x₁=x₃且y₁＞y₃，∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$．
綜上所述，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$，則$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{3}}$，故②正確；
③設(shè)$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{a}$=（x，y），
由$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{0}$，得“x＞0”或“x=0且y＞0”，
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，
若“x=0且y＞0”且“x₁＞x₂且y₁＜y₂”，則“xx₁=xx₂且yy₁＜yy₂”，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$不成立，故③錯誤；
④∵任意兩個向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”時，$\overrightarrow{{a}_{1}}$?$\overrightarrow{{a}_{2}}$成立．
∵若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0），則$\overrightarrow{{e}_{1}}$?$\overrightarrow{{e}_{2}}$?$\overrightarrow{0}$，故④正確．
∴真命題的序號是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了新定義正確理解新定義“?”正確理解的“?”的實(shí)質(zhì)是解答的關(guān)鍵，是中檔題．