Question

8．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為（　�。�

• A． 8π
• B． $\frac{25}{2}π$
• C． 12π
• D． $\frac{41}{4}π$

Answer 1

分析 作出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，取CC₁的中點(diǎn)為E，DD₁的中點(diǎn)為F，則四棱錐A₁-ABEF的三視圖為直觀圖，設(shè)三角形A₁AF的外心為O₁，三角形BEB₁的外心為O₁，該幾何體外接球的球心為O₁O₂的中點(diǎn)，求出幾何體外接球的半徑，即可求出該幾何體外接球的表面積．

解答 解：作出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，取CC₁的中點(diǎn)為E，DD₁的中點(diǎn)為F，則四棱錐A₁-ABEF的三視圖為直觀圖，
設(shè)三角形A₁AF的外心為O₁，三角形BEB₁的外心為O₂，該幾何體外接球的球心為O₁O₂的中點(diǎn)，
△A₁AF中，A₁A=2，AF=A₁F=$\sqrt{5}$，∴cos∠A₁FA=$\frac{5+5-4}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠A₁FA=$\frac{4}{5}$，
∴2R=$\frac{2}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{2}$，
∴R=$\frac{5}{4}$，
∴幾何體外接球的半徑為$\sqrt{\frac{25}{16}+1}$=$\frac{\sqrt{41}}{4}$
∴幾何體外接球的表面積為4$π•（\frac{\sqrt{41}}{4}）^{2}$=$\frac{41}{4}$π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖，考查幾何體外接球的表面積，確定直觀圖的形狀是關(guān)鍵．