Question

11．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，S₆=45．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令p_n=$\frac{{{S_{n+2}}}}{{{S_{n+1}}}}+\frac{{{S_{n+1}}}}{{{S_{n+2}}}}$，是否存在正整數(shù)M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式可得S_n，可得p_n．進而得到p₁+p₂+…+p_n-2n，即可得出．

解答 解　（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，
∴$a_3^2={a_2}{a_5}$，即$（{a}_{2}+d）^{2}={a}_{2}（{a}_{2}+3d）$，解得a₂=d，
由S₆=45得2a₂+3d=15，
∴a₂=d=3，
∴a_n=a₂+d（n-2）=3n-3．
（2）由（1）得${S_n}=\frac{3n（n-1）}{2}$，
∴p_n=$\frac{{\frac{{3（{n+2}）（{n+1}）}}{2}}}{{\frac{3n（n+1）}{2}}}+\frac{{\frac{{3n（{n+1}）}}{2}}}{{\frac{3（n+2）（n+1）}{2}}}$
=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+2}$，
∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=$（2+\frac{2}{1}-\frac{2}{3}）$+$（2+\frac{2}{2}-\frac{2}{4}）$+…+$（2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}）$-2n=2+1-$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n+2}$．
由n是整數(shù)可得p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n＜3，
故存在最小的正整數(shù)M=3，使不等式p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n≤M恒成立．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、遞推式的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．