Question

5．如圖，在多面體ABCDE中，CD和BE都垂直于平面ABC，且∠ACB=90°，AB=4，BE=1，CD=3，DE=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACD；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BE∥CD，利用線面平行的判定即可證明BE∥平面ACD；
（Ⅱ）在平面BCDE內(nèi)過點(diǎn)E作EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，證明四邊形BCDE是直角梯形，AC⊥平面DCBE，即可求多面體ABCDE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镃D和BE都垂直于平面ABC，所以BE∥CD，
又CD?平面ACD，BE?平面ACD，
所以BE∥平面ACD． …（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镃D和BE都垂直于平面ABC，所以BE∥CD，
則四邊形BCDE是直角梯形，…（6分）
在平面BCDE內(nèi)過點(diǎn)E作EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，
因?yàn)锽E=1，CD=3，DE=2$\sqrt{2}$，…（7分）
在直角三角形DEF中，EF=2，
所以BC=EF=2，…（8分）
在直角三角形ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，…（9分）
因?yàn)锳C⊥BC，AC⊥DC，所以AC⊥平面DCBE，
而四邊形BCDE的面積S=$\frac{1}{2}$（BE+CD）•BC=4，…（10分）
因此多面體ABCDE的體積為V=$\frac{1}{3}S•AC$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線與平面之間的位置關(guān)系，線面平行，體積等知識(shí)，高考必考內(nèi)容，考查空間想象能力和邏輯思維推理能力．