Question

甲乙共同擁有一塊形狀為等腰三角形的地ABC，其中∠C=120°，AC=BC=a．如果畫一條線使兩塊地面積相等，其中兩端點P、Q分別在線段AB，AC上．
（1）如果建一條籬笆墻，如何劃線建墻費用最低？
（2）如果在PQ線上種樹，如何劃線種樹最多？

Answer 1

分析：（1）要使造墻費用最少，即使PQ最短，利用分割后得面積相等，尋找等量關(guān)系，再利用基本不等式求PQ的最小值；
（2）要使果樹的產(chǎn)量最大，即使PQ最長，利用分割后得面積相等，尋找等量關(guān)系，再利用函數(shù)的單調(diào)性求PQ的最大值

解答：解：（1）設(shè)AQ=x，AP=y，AB=AC=a，∠C=120°∴AB=

3

a
又

1

2

a≤x≤a，

3

2

a≤y≤

3

a，S△ABC=

3

4

a2，則S△APQ=

1

2

xysin30°=

3

8

a2xy=

3

2

a2
由余弦定理知PQ=

x2+y2-2xycos30°

≥

3 - 3 2

a，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

4 12

2

a時，PQ最短，
∴x=y=

4 12

2

a時，費用最低．                …（6分）
（2）∵xy=

3

2

a2，0＜y≤

3

2

a，∴

1

2

a≤x≤a
PQ²=x²+y²-2xycos30°=x2+

3a4

4x2

-

3a2

2

(

1

2

a≤x≤a)，
構(gòu)建函數(shù)f（x）=x2+

3a4

4x2

-

3a2

2

(

1

2

a≤x≤a)，則f′(x)=2x-

3a4

2x3

∴f（x）在[

1

2

a，

4 12

2

a]上遞減，在[

4 12

2

a，a]上遞增，
∵f(a)=

1

4

a2，f(

a

2

)=

7

4

a2
∴當(dāng)x=

1

2

a時，即P位于B點，Q位于AC的中點，PQ最長，種的果樹最多．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立及最值的求解，正確理解題意，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．