Question

12．一個含有底面的半球形容器內放置有三個兩兩外切的小球，若這三個小球的半徑均為1，且每個小球都與半球的底面和球面相切，則該半球的半徑R=$\frac{3+\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 三個小球的球心構成邊長為2的正三角形，則其外接圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．設半球的球心為O小球O₁與半球底面相切于點A，經過點O，O₁，A作半球的截面，半圓O的半徑OC⊥OA，O₁B⊥OC于點B，利用勾股定理可得結論．

解答 解：三個小球的球心構成邊長為2的正三角形，則其外接圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
設半球的球心為O小球O₁與半球底面相切于點A，如圖，經過點O，O₁，A作半球的截面，半圓O的半徑OC⊥OA，O₁B⊥OC于點B，則OA=O₁B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在直角△OAO₁中，由（R-1）²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+1²，得R=$\frac{3+\sqrt{21}}{3}$．
故答案為：$\frac{3+\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查球的內切幾何體問題，考查勾股定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．