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已知O為坐標原點，
OA
=(-4，0)，
AB
=(8，0)，動點P滿足|
PA
|+|
PB
|=10
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）若Q（1，0），試問動點P的軌跡上是否存在M、N兩點，滿足
NQ
=
4
3
QM
？若存在求出M、N的坐標，若不存在說明理由．
解（1）∵
OA
=(-4，0)，
AB
=(8，0)，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵動點P滿足|
PA
|+|
PB
|=10，
∴動點P的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且長軸長2a=10∴a=5，b=3．
橢圓方程為
x2
25
+
y2
9
=1．
（2）
PA
•
PB
=|
PA
||
PB
|cos∠APB=|
PA
||
PB
|
|
PA
|2+|
PB
|2-4c2
2|
PA
||
PB
|
=2a2-2b2-|
PA
||
PB
|=18-|
PA
||
PB
|≥18-
 (|
PA
|+|
PB
|)2
4
=-7，∴
PA
•
PB
的最小值為-7
（3）假設存在M、N兩點，滿足
NQ
=
4
3
QM
，則M，Q，N共線，
設M（x1，y1），N（x2，y2），由
NQ
=
4
3
QM
，可得
1-x2=
4
3
x1-1
-y2=
4
3
y1
，∴y2=-
4
3
y1．①
設方程為x=my+1，代入橢圓方程，化簡得，（9m2+25）y2+18my-216=0，
y1+y2=-
18m
9m2+25
，y1y2=-
216
9m2+25
，把①代入，得y1=
54m
9m2+25
，y12=
162
9m2+25

∴m=
5
3
或-
5
3
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，
OA
=(-4，0)，
AB
=(8，0)，動點P滿足|
PA
|+|
PB
|=10
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）若Q（1，0），試問動點P的軌跡上是否存在M、N兩點，滿足
NQ
=
4
3
QM
？若存在求出M、N的坐標，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點，A是拋物線上一點，若
OA
•
AF
=-4，則點A的坐標是
（1，2）或（1，-2）
（1，2）或（1，-2）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點F，以OF為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點O的兩點A、B，若（
AO
+
AF
）•
OF
=0，則雙曲線的離心率e為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•沈陽二模）已知O為坐標原點，點M的坐標為（a，1）（a＞0），點N（x，y）的坐標x、y滿足不等式組
x+2y-3≤0
x+3y-3≥0
y≤1
．若當且僅當
x=3
y=0
時，
OM
•
ON
取得最大值，則a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，對于函數f（x）=asinx+bcosx，稱向量
OM
=(a，b)為函數f（x）的伴隨向量，同時稱函數f（x）為向量
OM
的伴隨函數．記
ON
=(1，
3
)的伴隨函數為h（x），則使得關于x的方程h（x）-t=0在[0，
π
2
]內恒有兩個不相等實數解的實數t的取值范圍是
[
3
，2)
[
3
，2)
．

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