Question

已知函數(shù)f（x）=ln．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）猜測f（x）的周期并證明；
（3）寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）由=＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．
∴x＞kπ+，或x＜kπ-，或 x=2kπ±，k∈z，
故函數(shù)的定義域為（kπ+，kπ+）∪（ kπ-，kπ- ），或x=2kπ±，k∈z，故定義域關于原點對稱．
∵f（ x）=ln，∴f（-x）=ln =ln =-ln =-f（ x），
故函數(shù)f（ x）為奇函數(shù)．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，證明如下：
∵f（π+x）=ln =ln =f（ x），故函數(shù)f（ x）的周期等于π．
（3）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)t==1+的減區(qū)間，即tanx＜-1 或tanx＞1 時的增區(qū)間，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（kπ+，kπ+），（ kπ-，kπ- ）．
分析：（1）求出函數(shù)f（ x） 的定義域關于原點對稱，再由f（-x）=-f（ x），可得函數(shù)f（ x）為奇函數(shù)．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，證明根據(jù)f（π+x）=f（ x）．
（3）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)t==1+的減區(qū)間，即tanx＜-1 或tanx＞1 時的增區(qū)間，由此求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
點評：本題考查三角函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性，化簡函數(shù)f（ x） 的解析式為 ln，是解題的關鍵．