Question

7．已知f（x）=9^x+（a-3）3^x+4，a∈R
（1）當a=1時，求函數(shù)F（x）=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=4時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）討論方程f（x）=0的根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，求函數(shù)F（x）=f（x）=9^x-2•3^x+4，令t=3^x，則y=F（x）=t²-2t+4，t＞0，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；
（2）當a=4時，f（x）=9^x+3^x+4，令t=3^x，則y=f（x）=t²+t+4，t＞0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的值域；
（3）方程f（x）=0的根的個數(shù)．即t²+（a-3）t+4=0，正根的個數(shù)，分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）當a=1時，求函數(shù)F（x）=f（x）=9^x-2•3^x+4，
令t=3^x，則y=F（x）=t²-2t+4，t＞0，
由t=3^x為增函數(shù)，y=t²-2t+4在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
故函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）；
（2）當a=4時，f（x）=9^x+3^x+4，
令t=3^x，則y=f（x）=t²+t+4，t＞0，
由y=t²+t+4的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
故t＞0時，f（x）＞y|_t=0=4，
即函數(shù)f（x）的值域為（4，+∞）；
（3）方程f（x）=0的根的個數(shù)．
即t²+（a-3）t+4=0，正根的個數(shù)，
當△=（a-3）²-16＜0，即a∈（-1，7）時，方程t²+（a-3）t+4=0無根，故方程f（x）=0無根；
當△=（a-3）²-16=0，即a=-1，或a=7時，方程有兩相等實根，
①a=7時，方程t²+（a-3）t+4=0有一負根，故方程f（x）=0無根；
②a=-1時，方程t²+（a-3）t+4=0有一正根，故方程f（x）=0有一根；
當△=（a-3）²-16＞0，即a＜-1，或a＞7時，方程有兩不等實根，
①a＞7時，方程t²+（a-3）t+4=0有兩負根，故方程f（x）=0無根；
②a＜-1時，方程t²+（a-3）t+4=0有兩正根，故方程f（x）=0有兩根；
綜上所述：a＜-1時，方程f（x）=0有兩根；
a=-1時，方程f（x）=0有一根；
a＞-1時，方程f（x）=0有兩根；

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．