Question

已知函數f（x）=e^2x-ax．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實數x∈（-1，1]，使得f（x）＜a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中的函數解析式，求出函數的導函數的解析式，根據導函數符號與原函數單調性的關系，可求出f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實數x∈（-1，1]，使得f（x）＜a成立，則a＞

e2x

x+1

，構造函數g（x）=

e2x

x+1

，則a＞g（x）_min，利用導出法求出函數的最小值，可得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=e^2x-ax，
∴f′（x）=2e^2x-a，
（�。┊攁≤0時，f′（x）＞0恒成立
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．
（ⅱ） 當a＞0時，令f′（x）=0，得x=

1

2

ln

a

2

當x＜

1

2

ln

a

2

時，f′（x）＜0，當x＞

1

2

ln

a

2

時，f′（x）＞0
∴f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，

1

2

ln

a

2

），f（x）的單調遞增區(qū)間是（

1

2

ln

a

2

，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）＜a得e^2x-ax＜a，即a（x+1）＞e^2x
由x∈（-1，1]得 x+1＞0．
∴a＞

e2x

x+1

設g（x）=

e2x

x+1

，
若存在實數x∈（-1，1]，使得f（x）＜a成立，則a＞g（x）_min，
∵g′（x）=

e2x(2x+1)

(x+1)2

令g′（x）=0  得x=-

1

2

，
∴當x∈（-1，-

1

2

）時，g′（x）＜0
當x∈（-

1

2

，1]時，g′（x）＞0
∴在g（x）在x=-

1

2

時取得最小值

2

e

∴a的取值范圍是（

2

e

，+∞）．…（12分）′

點評：本題考查的知識點是利用導數法求函數的單調性，利用導數求函數的最值，函數的恒成立，是函數圖象和性質及導數的綜合應用，難度中檔．