Question

9．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A，B分別為曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$與x軸的兩個交點，C、D分別為曲線上的兩個動點，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-4，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由向量的幾何意義，以及直線和圓的位置關(guān)系即可求出．

解答 解：曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$為半圓，如圖所示：A（-1，0），B（1，0），
當$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$方向相反時，且長度均為2時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-4，
設(shè)D在$\overrightarrow{AC}$上的投影點為H，OD與BC的交于點M，OM=x，
則當DH為圓0的切線時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{CH}$|=2x（1-x）≤$\frac{1}{2}$，（當且僅當x=$\frac{1}{2}$時等號成立）
所以則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-4，$\frac{1}{2}$]

點評 本題考查了向量的幾何意義，關(guān)鍵是掌握點位置關(guān)系，以及直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．