Question

4．若在曲線y=f（x）上以點A（x₁，f（x₁））為切點作切線l₁，在曲線y=f（x）上總存在著以點B（x₂，f（x₂））為切點的切線l₂（點B和點A不重合），使得l₁∥l₂，則對稱曲線y=f（x）具有“可平行性”．已知f（x）=$\frac{1}{x}$+（a+$\frac{1}{a}$）lnx-x，其中a＞0．
（1）當a=2時，求y=f（x）在點（1，f（1））的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上的極值；
（3）當a∈[3，+∞）時，函數(shù)y=f（x）具有“可平行性”，求x₁+x₂的范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決；
（2）求導數(shù)，再進行類討論，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調性，繼而確定函數(shù)的極值；
（3）函數(shù)y=f（x）具有“可平行性”，意味著導數(shù)值相等，由此作為解題的突破口即可．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{5}{2}$lnx-x，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{5}{2x}$-1，
∴f′（1）=-1+$\frac{5}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，f（1）=1+0-1=0，
∴y=f（x）在點（1，f（1））的切線方程為y=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y-1=0；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{x}$+（a+$\frac{1}{a}$）lnx-x，0＜x＜1，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+（a+$\frac{1}{a}$）$•\frac{1}{x}$-1=-$\frac{（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，
解得x=a，或x=$\frac{1}{a}$
①當0＜a＜1時，則$\frac{1}{a}$＞1，$\frac{1}{a}＞a$，
當f′（x）＜0，即x∈（0，a），f（x）在（0，a）單調遞減，
當f′（x）＞0，即（a，1）時，f（x）在（a，1）單調遞增，
∴當x=a時，函數(shù)有極小值，極小值為f（a）=$\frac{1}{a}$+（a+$\frac{1}{a}$）lna-a，無極大值，
②當a=1時，$\frac{1}{m}$=1則，故x∈（0，1），f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，
此時，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值；                
③當a＞1時，0＜$\frac{1}{a}$＜1，
當f′（x）＜0，即x∈（0，$\frac{1}{a}$），f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）單調遞減，
當f′（x）＞0，即（$\frac{1}{a}$，1）時，f（x）在（$\frac{1}{a}$，1）單調遞增，
∴當x=$\frac{1}{a}$時，函數(shù)有極小值，極小值為f（$\frac{1}{a}$）=a-（a+$\frac{1}{a}$）lna-$\frac{1}{a}$，無極大值；
（3）∵當a∈[3，+∞）時，函數(shù)y=f（x）具有“可平行性”，
∴f′（x₁）=f′（x₂），（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+（a+$\frac{1}{a}$）$\frac{1}{{x}_{1}}$-1=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$+（a+$\frac{1}{a}$）$\frac{1}{{x}_{2}}$-1，
∴x₁+x₂=（a+$\frac{1}{a}$）x₁•x₂，
∵x₁≠x₂，由不等式性質可得x₁•x₂＜$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$恒成立，
又x₁，x₂，a≥3，
∴x₁+x₂＜（a+$\frac{1}{a}$）$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$，
即x₁+x₂＞$\frac{4}{a+\frac{1}{a}}$對a∈[3，+∞）恒成立，
令g（a）=a+$\frac{1}{a}$（a≥3），
則g′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0恒成立
∴g（a）在[3，+∞）上單調遞增，
∴g（a）_min=g（3）=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{4}{a+\frac{1}{a}}$≤$\frac{4}{\frac{10}{3}}$=$\frac{6}{5}$，
∴x₁+x₂＞$\frac{6}{5}$，
故x₁+x₂的范圍為（$\frac{6}{5}$，+∞）

點評 本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，切線斜率和導數(shù)的關系是解決本題的關鍵．屬于難題．