Question

20．已知α為銳角，cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系，分類討論求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用兩角差的余弦公式，求得cosα的值．

解答 解：∵α為銳角，cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴當α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）時，sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（α-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（α-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$．
當α∈（0，$\frac{π}{6}$）時，sin（α-$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（α-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（α-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的余弦公式的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．