Question

（2013•鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x-cosx則方程f（x）=

π

4

所有根的和為

π

2

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，可得f（x）=

1

2

x-cosx在（-

π

6

，

7π

6

）上是增函數(shù)，結(jié)合f（

π

2

）=

π

4

得到在（-

π

6

，

7π

6

）上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x=

π

2

滿足f（x）=

π

4

．再由cosx的有界性和不等式的性質(zhì)，證出當(dāng)x≤-

π

6

時(shí)，有f（x）＜

π

4

，且x≥

7π

6

時(shí)，f（x）＞

π

4

．因此當(dāng)x∉（-

π

6

，

7π

6

）時(shí)，方程f（x）=

π

4

沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由此即可得到方程f（x）=

π

4

只有一實(shí)數(shù)根x=

π

2

，得到本題答案．

解答：解：∵f（x）=

1

2

x-cosx，∴f'（x）=

1

2

+sinx，
當(dāng)x∈（-

π

6

，

7π

6

）時(shí)，因?yàn)閟inx＞-

1

2

，所以f'（x）=

1

2

+sinx＞0
∴f（x）=

1

2

x-cosx在（-

π

6

，

7π

6

）上是增函數(shù)
∵f（

π

2

）=

1

2

•

π

2

-cos

π

2

=

π

4

∴在區(qū)間（-

π

6

，

7π

6

）上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x=

π

2

滿足f（x）=

π

4

．
又∵當(dāng)x≤-

π

6

時(shí)，

1

2

x＜-

π

12

，-cosx≤1，∴當(dāng)x≤-

π

6

時(shí)，f（x）=

1

2

x-cosx≤1-

π

12

＜

π

4

，
由此可得：當(dāng)x≤-

π

6

時(shí)，方程f（x）=

π

4

沒(méi)有實(shí)數(shù)根
同理可證：當(dāng)x≥

7π

6

時(shí)，方程f（x）≥

7π

6

-1＞

π

4

，所以方程f（x）=

π

4

也沒(méi)有實(shí)數(shù)根
綜上所述，方程f（x）=

π

4

只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=

π

2

，因此方程f（x）=

π

4

所有根的和為

π

2

故答案為：

π

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出基本初等函數(shù)f（x）=

1

2

x-cosx，求方程f（x）=

π

4

所有根的和．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)和不等式的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．