Question

9．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短半軸長b=1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B分別是橢圓C的左、右頂點，直線l：x=m（m≠2），當點P在直線l（縱坐標不為0）上移動時，直線PB、線段PA的延長線與橢圓C分別相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓恒經過點A，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出；
（2）設P（m，y_P），A（-2，0），B（2，0），N（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．由于以MN為直徑的圓恒經過點A，不妨設直線AM、AN的方程為：ky=x+2，-$\frac{1}{k}$y=x+2，k≠0．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ky=x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得M坐標．可得直線BM的方程，令x=m，解得y_P．由直線AN的方程，令x=m，解得y_P，進而解出m．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），∵$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，
解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設P（m，y_P），A（-2，0），B（2，0），N（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
∵以MN為直徑的圓恒經過點A，
∴不妨設直線AM、AN的方程為：ky=x+2，-$\frac{1}{k}$y=x+2，k≠0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ky=x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為：（k²+4）y²-4ky=0，
解得y_M=$\frac{4k}{{k}^{2}+4}$，x_M=ky_M-2=$\frac{2{k}^{2}-8}{{k}^{2}+4}$．
直線BM的方程為：y=$\frac{\frac{4k}{{k}^{2}+4}}{\frac{2{k}^{2}-8}{{k}^{2}+4}-2}$（x-2），化為y=-$\frac{k}{4}$（x-2），
令x=m，解得y_P=$\frac{-k（m-2）}{4}$．
由-$\frac{1}{k}$y=x+2，令x=m，解得y_P=k（m+2）．
∴$\frac{-k（m-2）}{4}$=-k（m+2），k≠0．
解得m=$-\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、圓的性質、直線方程，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．